الجبر

الجبر Algebra وهو فرع من علم الرياضيات وجاء أسمه من كتاب عالم الرياضيات والفلك والرحالة محمد بن موسى الخورازمي (الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة) الذى قدم العمليات الجبرية التى تنظم إيجاد حلول للمعادلات الخطية والتربيعية.
ويشكل علم الجبر أحد الفروع الثلاثة الأساسية في الرياضيات إضافة إلى الهندسة الرياضية و التحليل الرياضي و نظرية الأعداد و التباديل والتوافيق. ويهتم هذا العلم بدراسة البنى الجبرية و التماثلات بينها، والعلاقات والكميات.
والجبر هو مفهوم أوسع وأشمل من الحساب أو الجبر الابتدائى. فهو لا يتعامل مع الأرقام فحسب، بل يصيغ التعاملات مع الرموز والمتغيرات والفئات كذلك. ويصيغ الجبر البدهيات والعلاقات التى بواسطتها يمكن تمثيل أى ظاهرة في الكون. ولذا يعتبر من الأساسيات المنظمة لطرق الاثبات.

تصنيف
يقسم علم الجبر لعدة فروع.

• الجبر الابتدائي، و فيه يتم دراسة خصائص الاعداد الحقيقية، و تستخدم رموز للتعبير عن المتغيرات و الثوابت، و تتم دراسة القواعد التي تضبط المعادلات والتعابير الرياضية المكونة من هذه الرموز. ويتم تدريسه غالبا في التعليم الثانوي إضافة إلى إعطاء أفكار أساسية حول بقية مواضيع الجبر التجريدي في الجبر الابتدائي تتم دراسة جمع و ضرب الأعداد، ودراسة كثيرات الحدود و طرق إيجاد الجذور لكثيرات الحدود هذه.
  

• الجبر المجرد، و فيه تتم دراسة البنى الجبرية كالزمر (أو المجموعات) و الحلقات و الحقول (أو المجالات)، والفضاء الشعاعي (أو فضاء المتجهات أو الفراغ الإتجاهي) الذي يمثل عصب دراسة الجبر الخطي. ويتم بعد ذلك في الجبر التجريدي، عملية تجريد للعملية الحسابية فيستعاض عن الأعداد برموز تدعى في الجبر متغيرات أو عناصر لمجموعة ما. عندئذ تصبح عمليات الجمع والضرب مجرد أمثلة عن المؤثرات الجبرية operator و العمليات الجبرية الثنائية، و تعريف هذه العمليات يقودنا إلى بنى جبرية مثل الزمر، والحلقات، والحقول.
  

• الجبر الخطى، وهو مهتم بدراسة المتجهات، الفراغات الخطية، التحويلات الخطية ، ونظم المعادلات الخطية. تعتبر فراغات المتجهات موضوعا مركزيا في الرياضيات الحديثة؛ لذا يعتبر الجبر الخطي كثير الإستعمال في كلا من الجبر المجرد والتحليل الدالي. الجبر الخطي له أيضاً أهمية قصوى في الهندسة التحليلية كما أن له تطبيقات شاملة في العلوم الطبيعة والعلوم الاجتماعية.
  

• الجبر الشامل، و فيه تتم دراسة الخواص العامة لكل البنى الجبرية.
  

• جبر الأعداد، وهو يهتم بدراسة خواص الأعداد من الناحية النظرية.
  

• الجبر الهندسى، ويهتم بدراسة تجريد قواعد الهندسة.
  

• جبر التوافيق، وبهتم بدراسة التباديل والتوافيق.
  

• جبر الحاسوب، وفيه تتم دراسة الخوارزميات الخاصة بالتعامل مع الكائنات الرياضية.
  

الجبر الابتدائي
الجبر الابتدائي هو أبسط أنواع الجبر الذى يتم تدريسه لطلاب الرياضيات المفترض محدودية معرفتهم برياضيات ما بعد الأعداد. يشكل هذا الفرع من الجبر الذي يتعامل مع كثيرات الحدود والمعادلات وطرق إيجاد جذور المعادلات وطرق حلها. ويعتمد الجبر الابتدائى على عمليتين أساسيتين هما الجمع والضرب. لكل من هاتين العمليتين عملية معاكسة. العملية المعاكسة للجمع هى الطرح. والعملية المعاكسة للضرب هى القسمة. يعتمد الجبر الابتدائى أيضا على رقمين بالغى الأهمية هما الصفر والواحد. يدعى الصفر بالمحايد الجمعى والواحد بالمحايد الضربى. يعتبر الواحد أيضا المولد الأساسى للجبر الابتدائي.
وتعرف عملية الجمع بتكرار جمع الرقم واحد والذى يغير النتيجة إلى الرقم التالى. أى رقم مجموع عليه واحد يساوى الرقم الذى يليه



و
ومنها
أى رقم مجموع مع أى رقم اخر يتم تحليل أحدهما لمجموع الآحاد كما يلى



وكذلك
وهكذا.

بينما تعرف عملية الضرب بتكرار الجمع. فمثلا




وهكذا.
وتحقق كلتا العمليتان خواص الابدال والتجميع ويحقق الضرب وحده خاصية التوزيع على الجمع.

متعددات الحدود
متعددة الحدود هو دالة رياضية أو تركيب جبري يتكون من واحد أو كثر من الثوابت و المتغيرات، يتم بناؤه بإستخدام العمليات الأربعة الأساسية فقط: الجمع و الطرح و الضرب و القسمة.




وتحقق متعددات الحدود خاصيتي الاتصال بمعنى أنها تحقق قيمة لكل والقابلية للنفاضل أي توجد لها مشتقات من جميع الرتب عند جميع النقاط.
ويعد تحليل متعددات الحدود من أهم المجالات في اللتي يقدم فيها الجبر حلول كثيرة.

الجبر المجرد


يعمم الجبر التجريدي المفاهيم الصاغة في الجبر الابتدائي إلى مفاهيم أوسع وأشمل.
الفئة: هي مجموعة من العناصر والتي تشترك في خاصية أو أكثر. وتعد الفئة حجر الأساس في تعريف باقي البنى الجبرية.
عملية ثنائية: تعمم عملية الجمع لتشمل أي عملية تتعامل مع عنصرين من فئة ما. تعتبر العملية الثنائية غير ذال معنى اذا لم تعرف على فئة ما. وتدعى العملية الثنائية مغلقة اذا كان ناتج ينتمي لنفس الفئة.
العنصر المحايد: رقمي الصفر والواحد عمما إلى ما يسمى بالمحايدان الجمعي و الضربي، على التوالي. يرمز للعنصر المحايد بـ بحيث . ويختلف العنصر المحايد باختلاف العملية الثنائية. ففي حالة الجمع نجد . اذن العنصر هو المحايد الجمعي. أما في حالة الضرب نجد . العنصر هو المحايد الضربي.
العنصر المعاكس: وهو العنصر الذي اذا اشترك مع العنصر في العملية الثنائية المعرفة ينتج العنصر المحايد . ويتم التعبير عن ذلك بالتالي

الجبر الشامل

من وجهة نظر الجبر الشامل ، الجبر أو الجبر التجريدي هو مجموعة مزودة بجموعة من العمليات على . نقول أن هناك عملية نونية (من الرتبة نون) معرفة على تمثل دالة رياضية تأخذ عنصر من المجموعة وتعطي كنتيجة عنصرا وحيدا من .
لذلك فإن العملية اللاشيئية حيث يمكن أن تمثل عنصرا وحيدا من أو ما يدعى بالثابت غالبا يرمز له بحرف مثل .
بالمقابل العملية الأحادية (حيث ) ببساطة عبارة عن دالة من إلى يمثل غالبا برمز يوضع أمام مدخل العملية كأن نقول . أما العملية الثنائية تمثل برمز يكتب بين مدخلي العملية: .
العمليات من رتب أعلى غالبا ما تمثل بشكل رمز دالة والمدخلات توجد ضمن قوسين: أو f(x₁,...,x_n).
يعمد بعض الرياضيين أيضا إلى تعريف عمليات لامنتهية (حيث ) مثل ، التي تسمح بدراسة نظرية جبرية للمشابك الكاملة.
يمكن أن ننظر للجبر الشامل على أنه فرع خاص من نظرية النموذج نتعامل فيها مع البنى التي تملك عمليات فقط (أي دون علاقات)،يتم فيها الحديث عن بنى تستخدم معادلات فقط.